מדידת ביצוע של תיק השקעות

במושג "תיק השקעות" ניתן לכלול קרן נאמנות, קופת גמל, קרן פנסיה או כל צירוף של קבוצת ניירות ערך.
תיק השקעות נקרא גם נכס פיננסי ומידי פעם נשתמש במושג זה.
מאחר שאנו עוסקים בקרנות פנסיה יש צורך להבין איך מדרגים את הקרנות על סמך הפעילות הפיננסית שלהן.
כמובן שבדירוג הכולל של קרנות פנסיה ישנם קריטריונים נוספים כמו דמי ניהול, רמת השירות וזכויות על פי התקנון.
למדידת הביצוע של הפעילות הפיננסית יש מספר דרכים, להלן יפורטו החשובים שבהם.
הערה: מאמר זה מתיחס לקרן פנסיה אבל הוא נכון באותה מידה לקרן השתלמות.

א. השוואת תשואות

השיטה האינטואיטיבית ביותר הינה השוואת תשואות.
קרן שהתשואה שלה גבוהה יותר הינה טובה יותר.
כאשר מדברים על תשואה לא יהיה נכון להשוות תשואה של שנה אחת או חודש אחד, כי זו השוואה אקראית,
אלא סידרה של תשואות, נניח השוואה במשך 5 שנים של תשואה חודשית, כלומר סידרה של 60 תשואות, לכל קרן.
את התוצאות נציג במונחים שנתיים.
להלן דוגמה:

	קרן פנסיה	תשואה שנתית ממוצעת
	א'	3.45%
	ב'	5.16%
	ג'	5.64%

לפי שיטת השוואת תשואות קרן ג' היא הטובה ביותר וקרן א' הגרועה ביותר.

ב. השוואת תשואות - סיכון

אבל עולה השאלה האם היינו משקיעים את כספנו בקרן ג' אם היינו יודעים שהקרן מאוד מסוכנת ויש סבירות
גבוהה שנפסיד את כל כספנו. אולי עדיפה קרן ב' שהתשואה שלה קרובה לתשואה של קרן ג' אבל היא לא מסוכנת ?
בעוד שתשואה היא נתון אובייקטיבי, חישוב פשוט של ערך התיק בסוף החודש מול ערכו בתחילת החודש,
הרי סיכון הינו מושג בעייתי יותר.
ראשית ניתן למדד סיכון במספר דרכים, כפי שיפורט להלן.
שנית, הערכה של סיכון הינה סובייקטיבית. למשל, סיכון של 20% להפסד של כל ההשקעה נתפסת בעיני משקיע
אחד כסיכון מאוד גבוה ונתפסת בעיני משקיע אחר כסיכון סביר אם יש סיכוי של 80% לרווח גבוה מאוד.
דרך אחת למדידת סיכון הינה לבדוק את המרחק של כל תשואה (מתוך 60 התשואות הנבדקות) ביחס לתשואה
הממוצעת של אותה קרן. אם המרחקים גדולים משמע שהתשואות קופצות חזק, פעם למעלה ופעם למטה,
וזו קרן מסוכנת. אם התשואות מאוד קרובות לממוצע- רמת הסיכון הינה נמוכה.
כלכלנים אוהבים להתבטא בנוסחאות, אז נעבור לחלק הפחות נעים.

	x	התשואות הנמדדות
	n	מספר התשואות הנמדדות. בדוגמה שלנו 60 תשואות חודשיות במשך 5 שנים.
	r	ריבית חסרת סיכון במשק זו הריבית שמקבלים במק"מ (או באגרות חוב ממשלתיות לתקופה קצרה) שאין בה כל סיכון. בשנים האחרונות ריבית זו נמוכה מאוד ולצורך ההבנה האינטואיטיבית ניתן להתעלם ממנה, אבל מהותית היא קיימת. תשואת נכס בעל סיכון (כמו קרן פנסיה) מורכבת מתשואה חסרת סיכון + תשואה הנובעת מהסיכון של הנכס. אותנו מעניין התשואה הנובעת מהסיכון של הנכס.
	e(x-r)	e(x-r) = 1/n * Σ (x-r) תשואה ממוצעת - ממוצע של התשואות בניכוי ריבית חסרת סיכון, לאורך תקופת המדידה
	σ²	σ² = [ 1/n * Σ ((x-r) - e(x-r))² ] שונות - ממוצע ההפרשים של כל תשואה מהתשואה הממוצעת ההפרשים מועלים בריבוע כדי למנוע קיזוז בין הפרש שלילי והפרש חיובי כזכור, כאשר מדברים על תשואה הכוונה לתשואה בניכוי ריבית חסרת סיכון במשק.
	σ	σ = [ 1/n * Σ ((x-r) - e(x-r))² ]^0.5 סטיית תקן - הינה השורש של השונות. גם השונות וגם סטיית התקן הינם באחוזים.

כפי שניתן להבין, הסיכון בגישה זו נמדד ע"י סטיית התקן.
נחזור לדוגמה שלנו.
נניח שריבית חסרת סיכון במשק הינו 0.1% שנתי, ונוסיף עמודה של סטיית תקן.

	קרן פנסיה	תשואה שנתית ממוצעת e(x-r)	סטיית תקן σ
	א'	3.35%	9.30%
	ב'	5.06%	6.72%
	ג'	5.54%	8.50%

קרנות פנסיה ב' ו-ג' עדיפות על קרן פנסיה א' מאחר שהתשואות גבוהות יותר והסיכון נמוך יותר.
אבל ההשוואה בין קרן ב' וקרן ג' לא חד משמעית: לקרן ג' תשואה גבוהה יותר אבל גם סיכון גבוה יותר. קשה להשוות.

ג. מדד שארפ sharpe ratio

המדד פותח ע"י הכלכלן וויליאם שארפ, ונקרא גם reward to variability.
כדי להתמודד עם הבעיה לעיל ניתן להשתמש במדד שארפ.
המדד מחלק את התשואה הממוצעת בניכוי ריבית חסר סיכון במשק, בסטיית התקן.
ערך גבוה של המדד מראה על עדיפות.

	s	s = [ e(x - r) ] / σ מדד שארפ
	e(x-r)	e(x-r) = 1/n * Σ (x-r) תשואה ממוצעת - ממוצע של התשואות בניכוי ריבית חסרת סיכון, לאורך תקופת המדידה
	r	ריבית חסרת סיכון במשק
	σ	סטיית תקן כפי שהוגדרה לעיל.

הנחת המודל הינה שההשקעה מתבצעת בקרן אחת ובנכס חסר סיכון.
אם המשקיע מעוניין להשקיע ביותר מנכס אחד מסוכן, נניח 2 קרנות פנסיה, אזי סטיית התקן של התיק שנוצר
מושפע מההתאמה בין התשואות של קרן פנסיה אחת עם התשואות של קרן פנסיה שניה.
מודל זה לא לוקח בחשבון התאמה זו ולצורך כך יש מודל שלישי הרשום למטה.
ב-התאמה בין תשואות הכוונה האם שני הנכסים נעים באותו כיוון (כאשר התשואה של קרן אחת הינה חיובית
גם התשואה של הקרן השניה הינה חיובית),
או שהנכסים נעים בכיוונים הפוכים, דבר שמקטין את התנודתיות של התיק הכולל (וגם את התשואה).
פתרון לבעיה כזו מובא בסעיף הבא.
בנתיים נתרכז במדד שארפ ונחזור לדוגמה שלנו.

	קרן פנסיה	תשואה שנתית ממוצעת e(x-r)	סטיית תקן σ	מדד שארפ [e(x - r)]     σ
	א'	3.35%	9.30%	0.360
	ב'	5.06%	6.72%	0.753
	ג'	5.54%	8.50%	0.652

לפי מדד שארפ קרן פנסיה ב' הכי טובה, אחריה קרן ג' וקרן א' הכי גרועה.

ד. מדד treynor ratio

נקרא גם מדד reward to volatility.
כאמור, אם משקיעים ביותר מנכס מסוכן אחד נשתמש במדד זה.
המדד לוקח בחשבון את רמת התיאום בין התשואות של הנכסים המרכיבים את התיק של המשקיע.

	t	t = [ e(x - r) ] / β מדד treynor
	e(x-r)	תשואה ממוצעת - ממוצע של התשואות בניכוי ריבית חסרת סיכון, לאורך תקופת המדידה
	r	ריבית חסרת סיכון במשק
	β	סיכון שיטתי systematic risk שהינו מקדם רגרסיה סיכון של נכס מחולק ל-2 חלקים: סיכון שיטתי - המושפע מהתנודות של תיק השוק. למשל אם כל שוק המניות עולה אזי גם מחיר הנכס עולה. סיכון לא שיטתי - סיכון שהינו ספציפי לנכס מסויים ללא קשר לשאר הנכסים בשוק. למשל מניה עלולה ליפול בגלל ירידה בביקוש למוצר של החברה.

גם במדד treylor משתמשים בממוצע הההפרשים שבין התשואה ובין ריבית חסרת סיכון במשק
אבל רמת הסיכון נמדדת ע"י מקדם הרגרסיה β שברגרסיה הבאה:

		x-r = α + β * (R-r) + ε
	x	תשואות של הנכס בתקופה הנמדדת
	r	ריבית חסרת סיכון במשק
	α	הקבוע של הרגרסיה
	β	מקדם הרגרסיה
	R	תשואות של תיק השוק בתקופה הנמדדת
	ε	סטייה מקו הרגרסיה

כלומר, בשלב ראשון מבצעים רגרסיה ליניארית בין תשואות הנכס בניכוי ריבית חסרת סיכון (הציר האנכי)
ותשואות תיק השוק בניכוי ריבית חסרת סיכון (הציר האופקי).
הקבוע α הינו הנקודה בה קו הרגרסיה חותך את הציר האנכי,
המקדם β הינו השיפוע של קו הרגרסיה.
אם β שווה ל- 1 המשמעות הינה שכאשר תיק השוק, ונניח שזה תיק המורכב מכל המניות בשוק, עולה ב- 3%
    גם התיק של המשקיע יעלה ב- 3%.
אם β קטן מ- 1 המשמעות הינה שכאשר תיק השוק, עולה ב- 3% אזי התיק של המשקיע יעלה בפחות מ- 3%.
אם β גדול מ- 1 המשמעות הינה שכאשר תיק השוק, עולה ב- 3% אזי התיק של המשקיע יעלה ביותר מ- 3%.
לכן מקדם הרגרסיה מבטא את רמת הסיכון של הנכס.
בשלב השני (לאחר שחישבנו את β) נשתמש בו בתוך נוסחת treynor.
נמשיך בדוגמה שלנו עם הנתונים הקודמים, אבל עבור רמת הסיכון במקום סטיית תקן נשתמש במקדם הרגרסיה.
מקדם הרגרסיה שונה עבור כל קרן פנסיה.

	קרן פנסיה	תשואה שנתית ממוצעת e(x-r)	מקדם רגרסיה β	מדד treynor [e(x - r)]      β
	א'	3.35%	0.80	0.042
	ב'	5.06%	0.70	0.072
	ג'	5.54%	0.67	0.083

לפי מדד treynor קרן פנסיה ב' הינה הטובה ביותר, וקרן א' הגרועה ביותר.
הערה:
הנתונים במסמך זה הובאו לצורך הדגמה ואינם נתוני אמת.
יחד עם זאת יש לשים לב:
א. דירוג קרנות הפנסיה לפי מדדים שונים לא בהכרח זהה.
ב. לגובה הריבית חסרת סיכון במשק יש השפעה על התוצאות. הנחה של ריבית שונה מ- 0.1% תיתן תוצאות שונות.

ה. מדד תשואה עודפת alpha

לפי ההגדרה במסמך שבאתר גמל-נט:
   המדד משקף את המרכיב הנוסף בביצועים שאינו נובע מחשיפה ישירה לגורמי הסיכון העיקריים,
   אלא מיכולתו של המנהל לבחור נכסים או לתזמן חשיפות בצורה נכונה.
במילים אחרות, מדד אלפא הינו ה- α מהרגרסיה שהוזכרה בסעיף הקודם:

x-r = α + β * (R-r) + ε

הקבוע α הינו הנקודה בה קו הרגרסיה חותך את הציר האנכי.
הציר האנכי הינו התשואה של הנכס בניכוי ריבית חסרת סיכון.
כלומר, תשואה עודפת של קרן הפנסיה הינה התשואה שמעבר לתשואה המתחייבת מהסיכון של ההשקעה,
או התשואה שמעבר לתשואה המוסברת ע"י גורמי הסיכון.
ובדוגמה שלנו:

	קרן פנסיה	תשואה שנתית ממוצעת e(x-r)	תשואה עודפת α
	א'	3.35%	1.30%
	ב'	5.06%	3.00%
	ג'	5.54%	3.30%

ו. חלוקה לרמות סיכון

שני המדדים שארפ ו- treynor הינם תוצאת החלוקה של תשואה ברמת הסיכון.
לפי התאוריה, ככל שהמדד גבוה יותר הוא טוב יותר.
אבל ביישום שני המדדים יש להיות זהיר.
נמשיך עם הדוגמה ונוסיף עוד 3 קרנות פנסיה לטבלה.

	קרן פנסיה	תשואה שנתית ממוצעת e(x-r)	סטיית תקן σ	מדד שארפ [e(x - r)]     σ	מקדם רגרסיה β	מדד treynor [e(x - r)]      β
	א'	3.35%	9.30%	0.360	0.80	0.042
	ב'	5.06%	6.72%	0.753	0.70	0.072
	ג'	5.54%	8.50%	0.652	0.67	0.083
	ד'	15.00%	19.00%	0.789	1.00	0.150
	ה'	28.00%	30.00%	0.933	1.20	0.233
	ו'	29.00%	29.00%	1.000	1.21	0.240

על פי שני המדדים קרן ו' הינה הטובה ביותר.
מדד שארפ שווה 1.00 והוא הגבוה בעמודה, ומדד treynor שווה 0.24 והוא הגבוה בעמודה שלו.
אבל רמות הסיכון של קרן ו' מאוד גבוהים: סטיית תקן של 29% ומקדם רגרסיה של 1.21.
האם כל מבוטח מוכן לקחת סיכונים כאלה ?
לכן בשלב ראשון יש לחלק את קרנות הפנסיה לפי רמות סיכון:
קרנות א', ב', ג' - רמת סיכון נמוכה
קרן ד' - רמת סיכון בינונית
קרנות ה', ו' - רמת סיכון גבוהה.
כל מבוטח יבחר את רמת הסיכון בה הוא מעוניין.
בשלב שני יש לדרג את הקרנות, ברמת הסיכון שנבחרה, לפי מדד שארפ ומדד treynor.
בדוגמה לעיל:
מבוטח שבוחר את רמת הסיכון הנמוכה יבחר בקרן ב' או ג'.
מבוטח שבוחר את רמת הסיכון הגבוה יבחר בקרן ו'.